如图3,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BD,BD是中线,CE⊥BD于点E,交AB于点F.求证：∠ADF=∠CDE

题目

如图3,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BD,BD是中线,CE⊥BD于点E,交AB于点F.求证：∠ADF=∠CDE

答案

条件中的“AC=BD”应该是“AC=BC”
证明：以BC、CA为两边作正方形BCAG
取AG的中点H,连接CH交BD于E'
容易证明△CAH≌△BCD
∴      ∠HCA=∠DBC,∠CHA=∠BDC
因此    ∠HCA+∠BDC=∠DBC+∠BDC=90°
就是    △CDE'中的∠E'CD+∠E'DC=90°
∴      ∠CE'D=90°
故E'与E重合,同时F在CH上
      在△FDA与△FHA中
∵    FA=FA,DA=HA,∠FAD=∠FAH=45°
∴    △FDA≌△FHA
从而  ∠ADF=∠FHA=∠CDE