如图，在等腰直角△ABC的斜边上取异于B，C的两点E，F，使∠EAF=45°，求证：以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．

题目

如图，在等腰直角△ABC的斜边上取异于B，C的两点E，F，使∠EAF=45°，求证：以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．

答案

由A作垂线交BC于H．
设∠BAE=y，设BH=AH=CH=1．则
EH=tan（45-y）=

1−tany

1+tany

HF=tany
EF=EH+HF=

1−tany

1+tany

+tany
BE=1-EH=

2tany

1+tany

CF=1-tany
令x=tany，则
EF=x+

1−x

1+x

BE=

2x

1+x

CF=1-x
CF²+BE²=（1-x）²+（

2x

1+x

）²=（x+

1−x

1+x

）²=EF²．
故这三条线段可做成直角三角形．