(x^2-1)^2-(x^2-1)+k=0当k取不同值的时候,讨论方程实根的个数.

题目

(x^2-1)^2-(x^2-1)+k=0当k取不同值的时候,讨论方程实根的个数.

答案

原式为:
(x² - 1)² - (x² - 1) + k = 0
设 y = x² - 1,(x² = y + 1)
其中(1) y > -1,x :2根
(2) y = -1,x :1根
(3) y < -1,x :0根
代入上式,
则 y² - y + k = 0
判别式:△ = (-1)² - 4 * 1 * k = 1 - 4k
且y的根:y1 = [1 + √(1 - 4k)] / 2,y2 = [1 + √(1 - 4k)] / 2
(1) 当△ > 0,y 有2根.
即1 - 4k > 0,解得 k < 1/4
其中,
a) y1 > 0 > -1,若y2 > -1,(解得 k > -2)
即 -2 < k < 1/4 时,x :2 + 2 = 4 根
b) y1 > 0 > -1,若y2 = -1,(解得 k = -2)
即 k = -2 时,x :2 + 1 = 3 根
c) y1 > 0 > -1,若y2 < -1,(解得 k < -2)
即 k < -2 时,x :2 + 0 = 2 根
(2) 当△ = 0,y 有1根.
即1 - 4k = 0,解得 k = 1/4
其中,
y1 = y2 = 1/2 > -1
即 k = 1/4 时,x :2 根
(3) 当△ < 0,y 有0根.
即1 - 4k < 0,解得 k > 1/4
即 k > 1/4 时,x :0 根
综合(1),(2),(3),
当-2 < k < 1/4 时,方程实根的个数为4个
当 k = -2 时,方程实根的个数为3个
当 k < -2 或 k = 1/4 时,方程实根的个数为2个
当 k > 1/4 时,方程实根的个数为0个