已知函数f（x）=3x2+bx+1是偶函数，g（x）=5x+c是奇函数，正数数列{an}满足a1=1，f（an+an+1）-g（an+1an+an2）=1． （1）求{an}的通项公式； （2）若{a

题目

已知函数f（x）=3x²+bx+1是偶函数，g（x）=5x+c是奇函数，正数数列{a_n}满足a₁=1，f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

答案

∵函数f（x）=3x²+bx+1是偶函数，g（x）=5x+c是奇函数，
∴b=0，c=0
∴f（x）=3x²+1 g（x）=5x
∵f（a_n+a_n+1）-g（a_na_n+1+a_n²）=1
∴整理得（3a_n+1-2a_n）（a_n+a_n）=0
∵正数数列
∴3a_n+1-2a_n=0，即

an+1

an

=

2

3

∴数列{a_n}是以1为首项，

2

3

为公比的等比数列
∴通项公式a_n=（

2

3

）^n-1
∴S_n=3[1-（

2

3

）ⁿ]