已知二次函数f(x)满足f(0)=f(4),且f(x)=0的两根的平方和为10,图像过(0,3)点,求f(x

题目

已知二次函数f(x)满足f(0)=f(4),且f(x)=0的两根的平方和为10,图像过(0,3)点,求f(x

答案

设f(x)=ax²+bx+c,
因为图像过(0,3)点,所以3=0+0+c,即c=3,
因为f(0)=f(4),即0+0+3=16a+4b+3,所以b=-4a,
故f(x)=ax²-4ax+3,
设方程ax²-4ax+3=0的两个根为x1、x2,
则x1+x2=4,x1x2=3/a,
由题意(x1)²+(x2)²=(x1+x2)²-2x1x2=16-6/a=10,
所以a=1,此时方程x²-4x+3=0的根的判别式△=16-12=4>0,符合题意.
所以f(x)=x²-4x+3.