证明函数项级数∑e^(-nx)在(0,+∞)上非一致收敛,但其和函数S(x)在(0,+∞)上连续

题目

证明函数项级数∑e^(-nx)在(0,+∞)上非一致收敛,但其和函数S(x)在(0,+∞)上连续
∑上面写着∞,下面写着n=1

答案

对于任意x>0,级数∑e^(-nx)在区间 [x/2,+∞)上一致收敛,所以其和函数S(x)在x连续.因为x>0是任意的,所以和函数S(x)在(0,+∞)上连续.
如果∑e^(-nx)在(0,+∞)上一致收敛,则其和函数S(x)在x=0有定义,且连续.但是∑e^(-nx)|_{x=0}发散.这就产生矛盾.所以∑e^(-nx)在(0,+∞)上非一致收敛.