在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0). (1)设bn=an+1-an(n∈N*),证明{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.
题目
在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an-qan-1(n≥2,q≠0).
(1)设bn=an+1-an(n∈N*),证明{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
答案
(1)证明:由题设a
n+1=(1+q)a
n-qa
n-1(n≥2),得
a
n+1-a
n=q(a
n-a
n-1),
即b
n=qb
n-1,n≥2.
又b
1=a
2-a
1=1,q≠0,
所以{b
n}是首项为1,公比为q的等比数列.
(2)由(1)可得数列{b
n}的通项公式b
n=q
n-1,
∵b
n=a
n+1-a
n,
∴a
n-a
n-1=q
n-2,
…
a
2-a
1=1,
把上述各式相加,得到a
n-a
1=q
n-2+q
n-3+…+q
∴a
n=
(1)先整理出所给的递推式,向要求的数列表现形式方向整理,结果发现要求数列的表达式,数列后一项与前一项之比是一个常数,所以数列是等比数列.
(2)由(1)所得的结论,写出数列的通项公式,仿写一系列式子,用叠加的方法得到通项的表示式,在表示式中出现等比数列的求和,一定要注意的是,公比与1的关系.
等比关系的确定;数列的概念及简单表示法.
凡是有关等比数列前n项Sn的问题,首先考虑q=1的情况,证明条件不等式时,正确适时地应用所给的条件是成败的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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