已知函数f(x)=a(lnx-x)(a∈R). (I)讨论函数f(x)的单调性; (II)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,函数g(x)=x3+x2[m/2+f′(
题目
已知函数f(x)=a(lnx-x)(a∈R).
(I)讨论函数f(x)的单调性;
(II)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,函数g(x)=
x3+x2[+f′(x)]在区间(2,3)上总存在极值,求实数m的取值范围.
答案
(I)易知f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
,
当a<0时,令f′(x)=
>0,即
<0,解得增区间为(1,+∞),
减区间为(0,1);
当a>0时,令f′(x)=
>0,即
>0,解得增区间为(0,1),减区间为(1,+∞),
当a=0时,f(x)不是单调函数;
(II)∵函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,
∴f′(2)=
=tan45°=1,
∴a=-2,
f′(x)=
=,
g(x)=x
3+x
2(
+
)=x
3+(
+2)x
2-2x,
g′(x)=3x
2+(m+4)x-2,
∵g′(0)=-2<0,要使函数g(x)=x
3+x
2[
+f′(x)]在区间(2,3)上总存在极值,
只需
,
解得-
<m<-9;
(I)利用导数研究函数的单调性,首先求出极值点,同时注意函数的定义域;
(II)已知函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,根据导数与直线斜率的关系可得f′(2)=1,将问题转化为二元一次方程有解问题,从而求解;
利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
此题利用导数研究函数单调区间,以及导数所表示的几何意义,将问题转化为方程有解问题,是一道中档题;
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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