已知a-b+c=3,x^2+ax+1=0,x^2+bx+c=0有一个相同的实根,x^2+x+a=0,x^2+cx+b=0有一个相同的实根,求a,b,c.

题目

已知a-b+c=3,x^2+ax+1=0,x^2+bx+c=0有一个相同的实根,x^2+x+a=0,x^2+cx+b=0有一个相同的实根,求a,b,c.

答案

x²+ax+1=0与x²+bx+c=0有相同实根,设为x1；
则 x1²+ax1+1=x1²+bx1+c 解得 x1=(c-1)/(a-b)；
x²+x+a=0与x²+cx+b=0有相同实根,设为x2；
则 x2²+x2+a=x2²+cx2+b 解得 x2=(a-b)/(c-1)；
发现 x1*x2=1,互为倒数,x1=1/x2；
则 x1²+ax1+1=0 ,1/x1²+1/x1+a=0 解得 x1=1或者x1=0(舍去,因为x1有倒数x2)；
x1=1得 c-1=a-b；x2=1；
将x1=1代入x1²+ax1+1=0解得 a= -2；
x1=1代入 x1²+bx1+c=0得 1+b+c=0；
又 a-b+c=3得 c-b=5,联合两个方程解得 b= -3,c=2.
所以 a= -2,b= -3,c=2.