能否找到五个不同的正整数,它们中任意三个数的和是3的倍数,任意四个数的和是4的倍数,并且这五个正整数之和恰好等于2011?若能找到,试举一个例子；若不能找到,请说明理由.

题目

能否找到五个不同的正整数,它们中任意三个数的和是3的倍数,任意四个数的和是4的倍数,并且这五个正整数之和恰好等于2011?若能找到,试举一个例子；若不能找到,请说明理由.

答案

5个数中任意三个数的和是3的倍数,则这5个数被3除的余数相同,可能余0、1、2,设余数为X.
因为 2011 / 3 = 670 …… 1
则有 5X | 3 = 2X | 3 = 1,X = 2
同法,
5个数中任意四个数的和是4的倍数,则这5个数被4除的余数相同,可能余0、1、2、3,设为Y.
因为 2011 / 4 = 502 …… 3
则有 5Y | 4 = Y | 4 = 3,Y = 3
因此这5个数都是被3除余2、被4除余3的数,最小是11.
令这5个数分别为：
12A+11、12B+11、12C+11、12D+11、12E+11
只需要
12A+11 + 12B+11 + 12C+11 + 12D+11 + 12E+11
= 12(A+B+C+D+E) + 55 = 2011 有解
即A+B+C+D+E = (2011 - 55)/12 = 163,显然可行.
例如,A=30、B=31、C=32、D=33、E=37：
30*12 + 11 = 371
31*12 + 11 = 383
32*12 + 11 = 395
33*12 + 11 = 407
37*12 + 11 = 455
这5个数必满足题意要求.