已知正方形ABCD,M为BC上任一点,AN是∠DAM的平分线,且交DC于N.求证:DN BM=AM

题目

已知正方形ABCD,M为BC上任一点,AN是∠DAM的平分线,且交DC于N.求证:DN BM=AM

答案

将三角形ADN绕A点旋转,使AD'与AB重合,此时N落在点N'处.
由于 AN是∠DAM的平分线……∠DAN＝∠MAN
三角形ADN全等于三角形ABN'……∠ADN＝∠BAN'
所以∠MAN =∠BAN'……∠NAB=∠NAM+∠MAB=∠BAN'+∠NAB=∠N'AM……(1)
又正方形ABCD……∠DAB=90度……∠DAN+∠NAB=90度
∠ABN'＝∠ADN＝90度……∠N'AB+∠N'=90度
所以∠NAB=∠N'……(2)
由(1)、(2)得：
∠N'=∠N'AM……N'M=AM
三角形ADN全等于三角形ABN'……DN=BN'
所以AM=N'M=N'B+BM=DN+BM