三个方程：ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,c^2+ax+b=0恰有一公共根,则a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab的值为?

题目

三个方程：ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,c^2+ax+b=0恰有一公共根,则a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab的值为?

答案

显然方程的公共根为x=1
所以a+b+c=0即c=-(a+b)
a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab
=(a^3 +b^3 +c^3)/(abc)
=[a^3 +b^3 -(a+b)^3]/[-ab(a+b)]
=[(a+b)(a^2 -ab+b^2)-(a+b)(a^2 +2ab+b^2)]/[-ab(a+b)]
=(a+b)(-3ab)/[-ab(a+b)]
=3