关于特征多项式?

题目

关于特征多项式?
|λE-A| = λ^n - (a11 + a22 + … + ann)λ^(n-1) + … + (-1)^n|A|中的 λ^n 怎么推导出来的?

答案

这个不是推导出来的,是分两步来的:
首先证明|λE-A|是一个多项式,最高项是n次的.这只需要按照行列式的定义展开就行了.
第二步,证明各次的前边系数有你给的那个规律.
我们知道n次多项式在复数域内一定有n个根,这是复数基本定理.那么|λE-A|这个n次多项式在复数域内一定可以因式分解成n个因子的乘积形式
|λE-A|=(λ-λ1)(λ-λ2).(λ-λn),其中λ1.λn就叫特征多项式的特征值.
把这个多项式|λE-A|=(λ-λ1)(λ-λ2).(λ-λn),展开和你给的系数正好对应相等.
例如,常数项为(-1)^n|A|,而|A|正是λ1λ2.λn,又例如n-1次项 - (a11 + a22 + … + ann),而由于相似矩阵对迹tra的相似不变性这个正好等于 - (λ1 + λ2 + … + λn).
综上第一步是按照行列式定义展开成多项式形式,发现他是n次多项式(系数是什么还不清楚).
第二步根据代数基本定理写成因式分解形式|λE-A|=(λ-λ1)(λ-λ2).(λ-λn)再展开,然后根据特征值具有的性质证明你给的式子正确.
落下了点东西,第一步还要说明最高项次数为1(首一),因为矩阵中含有λ的元素都在对角线上,按照按行按列展开(行列式的拉普拉斯展开)只有对角线乘积这一个是λ的n次的,其余展开项都比他次数小,所以最高项一定是λ^n无他