设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为52，且点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程．

题目

设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为

5

2

，且点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程．

答案

依题意，设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1（a＞0，b＞0）．∵e=ca=52，c2=a2+b2，∴a2=4b2．设M（x，y）为双曲线上任一点，则|PM|2=x2+（y-5）2=b2（y2a2-1）+（y-5）2=54（y-4）2+5-b2（|y|≥2b）．①若4≥2b，则当y=4...

由双曲线中心在原点，准线平行于x轴，可设双曲线的方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1．由离心率为

5

2

，可得a²+b²=（

5

2

a）²=c²．由点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，可转化为二次函数的最大（小）值问题来讨论，得到a、b应满足的另一关系式．从而求出a²、b²，本题得解．

本题考点：双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．

考点点评：本题主要考查双曲线的基本性质--离心率、基本关系，考查两点间的距离公式．对于学生的运算能力也有一定的考查．