在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ccosB+bcosC=3acosB． （1）求cosB的值； （2）若BA•BC=2，求b的最小值．

题目

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ccosB+bcosC=3acosB．
（1）求cosB的值；
（2）若

BA

•

BC

=2，求b的最小值．

答案

（1）∵ccosB+bcosC=3acosB，
∴由正弦定理得：sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，
又∵sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=

1

3

；
（2）由

BA

•

BC

=2，得accosB=2，
∵cosB=

1

3

，
∴ac=6，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB≥2ac-

2

3

ac=8，当且仅当a=c时取等号，
则b的最小值为2

2

．

（1）利用正弦定理化简已知得等式，根据sinA不为0即可求出cosB的值；
（2）利用平面向量的数量积运算法则化简

BA

•

BC

=2，将cosB的值代入求出ac的值，再利用余弦定理列出关系式，将cosB代入后利用基本不等式变形，将ac的值代入计算即可求出b的最小值．

本题考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．

考点点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，平面向量的数量积运算，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．