设X＞8,Y＞0,且2X+8Y-XY=0,求X+Y的最小值

题目

设X＞8,Y＞0,且2X+8Y-XY=0,求X+Y的最小值
用一个重要的不等式的解法

答案

方法一：2x+8y-xy=0
xy-2x-8y=0
(x-8)(y-2)=16
因为 X＞8,Y＞0,所以 x-8>0,
则 y-2>0
所以 y>2
[(x-8)+(y-2)]²≥4(x-8)(y-2)=64
|x-8+y-2|≥8
x-8+y-2≥8
x+y≥18(此时x-8=y-2=4,x=12,y=6 )
方法二：2x+8y=xy
2/y+8/x=1
x+y=(x+y)*1
=(x+y)(2/y+8/x)
=2x/y+8y/x+2+8
x>8,y>0
2x/y+8y/x>=2√(2x/y*8y/x)=8
所以x+y最小值=8+2+8=18