设函数f(x)=4^x,若f(x)=f[f^-1(2^(x)+2)],求x的值
题目
设函数f(x)=4^x,若f(x)=f[f^-1(2^(x)+2)],求x的值
答案
由f(x)=4^x得 f(x)=2^2x
f(x)的反函数f^-1(x)=0.5log2(下)x (即以2为底,x 的对数)
则f^-1(2^(x)+2)]=0.5log2(下)(2^(x)+2)
又 2^log2(下)x=x 则 f[f^-1(2^(x)+2)]=2^log2(下)(2^(x)+2)=2^(x)+2=f(x)
故 2^(x)+2=2^2x
令 2^(x)=t 则 t^2-t-2=0 解得 t=2 或 t=-1（舍去）
故 2^(x)=2 x=1
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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