设函数f（x）的定义域为R,当x＞0时,f（x）＞1,且对任意x,y∈R,都有f（x+y）=f(x)*f(y)

题目

设函数f（x）的定义域为R,当x＞0时,f（x）＞1,且对任意x,y∈R,都有f（x+y）=f(x)*f(y)
（1）证明：f（0）=1
(2)证明：f（x)在R上为增函数.
第一问，我会做，主要是第2问。

答案

1.因为对任意x,y∈R,都有f（x+y）=f(x)*f(y) 所以f（0）=f（0）*f（0）所以f（0）=1
2.设x1大于x2 根据对任意x,y∈R,都有f（x+y）=f(x)*f(y)
所以 f（x1) - f（x2)= f((x1-x2) +x2))- f（x2)=f(x1-x2)*f（x2)-f（x2) 又因为x1大于x2 所以x1-x2＞0 根据当x＞0时,f（x）＞1所以f(x1-x2）大于1 所以f(x1-x2)*f（x2)-f（x2)＞0 因此f（x1) - f（x2)＞0 所以f（x)在R上为增函数.