如图,已知:在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD平分∠CBA,DE⊥AB于E,求证:AD+DE=BE.
题目
如图,已知:在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD平分∠CBA,DE⊥AB于E,求证:AD+DE=BE.
答案
证明:∵BD平分∠CBA(已知),
∴∠EBD=∠CBD(角平分线的定义).
∵DE⊥AB(已知),
∴∠DEB=90°(垂直的定义).
∵∠C=90°(已知),
∴∠DEB=∠C(等量代换).
在△DEB和△DCB中
| ∠DEB=∠C(已证) | ∠EBD=∠CBD(已证) | DB=DB(公共边) |
| |
,
∴△DEB≌△DCB(AAS).
∴DE=DC,BE=BC(全等三角形的对应边相等).
∵AD+DC=AC=BC(已知),
∴AD+DE=BE(等量代换).
由角平分线的定义、垂直的定义证明△DEB≌△DCB,再根据全等三角形的对应边相等得出结论.
全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.
本题考查了角平分线的定义、垂直的定义、全等三角形的判定及其性质等知识.利用相等的线段进行等效转是解答本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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