已知三角形ABC的三边方程是AB:5x-y-12=0,BC:x+3y+4=0,CA:x-5y+12=0求:角A的平分线所在的直线方程

题目

已知三角形ABC的三边方程是AB:5x-y-12=0,BC:x+3y+4=0,CA:x-5y+12=0求:角A的平分线所在的直线方程

答案

先求A点坐标
点A是 AB和AC的交点.所以,
AB：5x-y-12=0 （1）
AC:x-5y+12=0 （2）
解这个方程组：
（1）*5 - (2),得
24x=72 x=3
y=5x-12=15-12=3
所以　A点坐标是（3,3）
设角A的平分线AD方程是　y-3＝k（x-3）
因为它与AB,AC的夹角相等
AB的斜率是 k1=5,AC的斜率 k2=1/5
所以
（ k-k1）/(1+k*k1)=(k2-k)/(1+k2*k)
(k-5)/(1+5k)=(1/5-k)(1+k/5)
（k-5)/(1+5k)=（1-5k)/(5+k)
(1+5k)(1-5k)=(k-5)(k+5)
1-25k²=k²-25
26k²=26
k=1 或k=-1
因为,AB和AC的斜率都是正数,而BC的斜率是 - 1/3 AD是内角平分线,所以取k=1
于是,角A的平分线方程是 y-3=x-3
即y=x