双钩函数的运用,求最值怎么求

题目

双钩函数的运用,求最值怎么求

答案

所谓的对勾函数（双曲线函数）,是形如f(x)=ax+b/x的函数.由图像得名.　　当x>0时,f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便,规定a>0,b>0）,也就是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）
高考例题
　　2006年高考上海数学试卷（理工农医类）已知函数 y=x+a/x 有如下性质：如果常数a>0,那么该函数在 (0,√a] 上是减函数,在 ,[√a,+∞ )上是增函数． 　　（1）如果函数 y=x+(2^b)/x （x>0）的值域为 [6,+∞),求b 的值； 　　（2）研究函数 y=x^2+c/x^2 （常数c >0）在定义域内的单调性,并说明理由； 　　（3）对函数y =x+a/x 和y =x^2+a/x^2（常数a >0）作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论,不必证明）,并求函数F(x) =(x^2+1/x)^n+(1/x^2+x)^n（x 是正整数）在区间[½ ,2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论） 　　当x>0时,f(x)=ax+b/x有最小值；当x0,　　由均值不等式有：　　f(x)=x+1/x>=2根号（x*1/x)=2 　　当x=1/x取等 　　x=1,有最小值是：2,没有最大值.　　当x0 　　f(x)=-(-x-1/x) 　　0,b>0)在x>0上的单调性 设x1>x2且x1,x2∈(0,+∝) 则f(x1)-f(x2)=(ax1+b/x1) -（ax2+b/x2） =a（x1-x2)-b（x1-x2）/x1x2 =（x1-x2）（ax1x2-b）/x1x2 因为x1>x2,则x1-x2>0 当x∈(0,√(b/a）)时,x1x20,即x∈(√(b/a）,+∞)时,f(x)=ax+b/x单调递增.