设f(x)在[a,b]连续且f′(x)>0,证明∫(a,b) xf(x)dx≥(a+b)/2 ∫(a,b)f(x)dx
题目
设f(x)在[a,b]连续且f′(x)>0,证明∫(a,b) xf(x)dx≥(a+b)/2 ∫(a,b)f(x)dx
答案
构造函数：F(u)=2∫[a--->u] xf(x)dx-(a+u)∫[a--->u]f(x)dx,u∈[a,b],显然有F(a)=0F'(u)=2uf(u)-∫[a--->u]f(x)dx-(a+u)f(u)=uf(u)-af(u)-∫[a--->u]f(x)dx=f(u)(u-a)-∫[a--->u]f(x)dx由积分中值定理：∫[a--->u]f...
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