已知点P是二面角α—l—β的两平面外的一点,PA⊥α,垂足为A,PB⊥β,垂足为B,且PA=5,PB=3,AB=7.

题目

已知点P是二面角α—l—β的两平面外的一点,PA⊥α,垂足为A,PB⊥β,垂足为B,且PA=5,PB=3,AB=7.
试求二面角的大小

答案

令平面PAB与直线 l 的交点为C.
∵PA⊥平面α,∴l⊥PA.　∵PB⊥平面β,∴l⊥PB.
由l⊥PA、l⊥PB、PA∩PB＝P,得：l⊥平面PAB,∴AC⊥l、BC⊥l,
∴∠ACB是二面角α－l－β的平面角.
∵PA平面α,∴PA⊥AC.　∵PB⊥平面β,∴PB⊥BC.
由PA⊥AC、PB⊥BC,得：A、C、B、P共圆,∴∠ACB＝180°－∠APB.
由余弦定理,有：
cos∠APB＝（PA^2＋PB^2－AB^2）/（2PA×PB）＝（25＋9－49）/（2×5×3）＝－1/2,
∴∠APB＝120°,　∴∠ACB＝180°－120°＝60°.
即：二面角α－l－β的大小为60.