在Rt△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,tanA、tanB是关于x的一元二次方程x2-kx+12k2-37k+26=0的两个实数根. (1)求k的值; (2)若c=10,且a>b,求

在Rt△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,tanA、tanB是关于x的一元二次方程x2-kx+12k2-37k+26=0的两个实数根. (1)求k的值; (2)若c=10,且a>b,求

题目
在Rt△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,tanA、tanB是关于x的一元二次方程x2-kx+12k2-37k+26=0的两个实数根.
(1)求k的值;
(2)若c=10,且a>b,求a、b.
答案
(1)在Rt△ABC中,∠A+∠B=90°,∴tanA•tanB=1.
∴tanA•tanB=12k2-37k+26=1,
即12k2-37k+25=0,可得:k1=
25
12
,k2=1.
又当k=1时,原方程为x2-x+1=0,其判别式△<0,舍去.
∴k=
25
12

(2)当k=
25
12
时,原方程为:x2− 
25
12
x+1=0

又tanA+tanB=
25
12
,∴
b
a
+
a
b
=
a2+b2
ab
=
25
12

∴a2+b2=c2=100.∴ab=48      ①
而a2+b2=(a+b)2-2ab=100,且a+b>0.
∴a+b=14.②
由①②得:
a=8
b=6
或者
a=6
b=8

又a>b,
则a=8,b=6.
(1)因为三角形为直角三角形,并且tanA、tanB是关于x的一元二次方程x2-kx+12k2-37k+26=0的两个实数根,根据根与系数的关系即可求解;(2)已知一条边c=10,且a>b,根据互余两角三角函数的关系即可求解.

根与系数的关系;互余两角三角函数的关系.

本题主要考查了根与系数的关系及互余两角函数的三角关系,难度较大,关键掌握x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=-p,x1x2=q.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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