线性代数问题 单特征根的特征向量个数一定为一吗

题目

线性代数问题 单特征根的特征向量个数一定为一吗

答案

不一定.
单特征根的情况下,可能对应几个线性无关的特征向量.
举个例子吧,假设有如下一个矩阵A：
a 0 0 0
0 a 0 0
0 0 a 0
0 0 0 a
(a≠0),只有一个特征根a,但是因为它可以相似对角化,所以根据：n阶矩阵可以相似对角化的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量,那么该矩阵必然有4个特征向量,而它们都是特征根a对应的特征向量.【当然你也可以用求特征根特征向量的方法去求一下验证一下,结论也一定是正确的.线代不难,只是知识点散,要理解并把前后章节贯通看】
另外,任何一个特征根对应的特征向量如果不限定线性相关性,那么都是无穷多个的,例如Aλ=aλ,那么应该有A(kλ)=a(kλ),所以kλ都是对应于特征值a的矩阵A的特征向量,实际上kλ与λ是线性相关的.明白了吗?