扇形AOB中,半径OA=1,∠AOB=π/2,在OA的延长线上有一动点C,过C作CD与弧AB相切于点E,

题目

扇形AOB中,半径OA=1,∠AOB=π/2,在OA的延长线上有一动点C,过C作CD与弧AB相切于点E,
且与过点B所作的OB垂线交于点D,问当点C在何位置时,直角梯形OCDB的面积最小

答案

令∠C=α,易得∠EOD=∠BOD=α/2,
OC=1/sinα,BD=tan(α/2),
梯形面积最小,即OC+BD的和最小,
即1/sinα+tan(α/2)
={1+[tan(α/2)]^2}/[2tan(α/2)]+tan(α/2)(用万能公式代换）
令tan(α/2)=x,0＜x＜1,则原式化简
=(3x^2+1)/2x=3x/2+1/2x≥√3,此时x=√3/3,
即BD=√3/3.
OC=2/√3.
此时面积最小=1*√3/2=√3/2