已知圆C：x^2+(y-2)^2=1上一点P与双曲线x^2-y^2=1上一点Q,求PQ两点距离的最小值

题目

已知圆C：x^2+(y-2)^2=1上一点P与双曲线x^2-y^2=1上一点Q,求PQ两点距离的最小值

答案

由于圆外一点到圆的最小距离是该点到圆心的距离减去半径,
所以双曲线x²-y²=1上一点Q到圆的最小距离是点Q到圆心的距离减去圆的半径.
圆x²+(y-2)² =1的圆心为(0,2),半径为1,
设Q(x,y),则PQ两点距离的最小值为
√(x² +(y-2)²)-1
=√(y² +(y-2)²)-1
=√(2y²-4y+5)-1
>=√3-1
其中用到Q(x,y)双曲线x²-y² =1上,
坐标满足双曲线方程,
而上式在y=1时取最小值.