已知a、b、c是△ABC的三边,方程(b+c)x2+2(a-c)x-34(a-c)=0有两个相等的实数根,则△ABC的形状为(  ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无法确定

已知a、b、c是△ABC的三边,方程(b+c)x2+2(a-c)x-34(a-c)=0有两个相等的实数根,则△ABC的形状为(  ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.无法确定

题目
已知a、b、c是△ABC的三边,方程(b+c)x2+
2
(a-c)x-
3
4
(a-c)=0有两个相等的实数根,则△ABC的形状为(  )
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 无法确定
答案
∵a、b、c是△ABC的三边,
∴b+c>0,
∵(b+c)x2+
2
(a-c)x-
3
4
(a-c)=0有两个相等的实数根,
∴△=2(a-c)2-4(b+c)×[-
3
4
(a-c)]=0,
∴2(a-c)2+3(b+c)(a-c)=0,
∴(a-c)(2a-2c+3b+3c)=0,即(a-c)(2a+3b+3c)=0,
∴a-c=0,即a=c,
∴△ABC为等腰三角形.
故选A.
由于b+c>0,根据根的判别式的意义得到△=2(a-c)2-4(b+c)×[-
3
4
(a-c)]=0,整理得到(a-c)(2a+3b+3c)=0,而2a+3b+3c≠0,则a-c=0.

根的判别式.

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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