高数二阶导证明问题

题目

高数二阶导证明问题
已知函数f（x）在[0,1]上连续,在（0,1）上二阶可导,f（0）=f（1）=0,且曲线y=f（x）与直线y=x当x∈（0,1）是有交点,证明：在（0,1）内至少存在一点ξ使得f''(ξ)

答案

因为曲线y=f（x）与直线y=x当x∈（0,1）是有交点,即存在c∈（0,1）,使得f(c)=c；
于是由微分中值定理有
f(c)-f(0)=cf'(ξ1);ξ1∈(0,c);得到f'(ξ1)=f(c)/c=1;
同样
f(1)-f(c)=(1-c)f'(ξ2);ξ2∈(c,1);得到f'(ξ2)=-f(c)/(1-c)=-c/(1-c)=1-1/(1-c)