关于x的不等式（m2-2m-3）x2-（m-3）x-1＜0的解集是R，求实数m的取值范围．

题目

关于x的不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0的解集是R，求实数m的取值范围．

答案

（1）当m²-2m-3=0，即m=-1或m=3时，要使原不等式的解集为R，
则m=3…（2分）
（2）当m²-2m-3≠0时，要使原不等式的解集为R，则有：

m2−2m−3＜0 (m−3)2+4(m2−2m−3)＜0

⇒

−1＜m＜3 − 1 5 ＜m＜3

⇒−

1

5

＜m＜3…..（10分）
综合（1）（2）的m的取值范围为−

1

5

＜m≤3…（12分）

由于二次项系数含有参数，故需对其进行讨论．对于二次项系数不为0时，借助于相应二次函数的特征，可建立不等式组，从而求出实数m的取值范围．

本题考点：一元二次不等式的应用．

考点点评：本题的考点是一元二次不等式的运用，主要考查解一元二次不等式的逆向问题，关键是利用函数的图象，巧妙地构建不等式组，分类讨论千万不要遗漏．