在正三棱锥S-ABC中，侧棱SC⊥侧面SAB，侧棱SC=23，则此正三棱锥的外接球的表面积为_．

题目

在正三棱锥S-ABC中，侧棱SC⊥侧面SAB，侧棱SC=2

3

，则此正三棱锥的外接球的表面积为______．

答案

∵三棱锥S-ABC正棱锥且侧棱SC⊥侧面SAB，
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，
∴2R=2

3

•

3

，∴R=3，∴S=4πR²=4π•（3）²=36π，
故答案为：36π．

由题意推出SC⊥平面SAB，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．

本题考点：球内接多面体．

考点点评：本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．