已知(2＋√x)∧n的展开式中第二项,第三项,第四项的二项式系数为等差数列!

题目

已知(2＋√x)∧n的展开式中第二项,第三项,第四项的二项式系数为等差数列!
已知(2＋√x)∧n的展开式中第二项,第三项,第四项的二项式系数为等差数列!1,求n的值 2,求展开式的中间项.

答案

第二项2^(n-1)*√x*n-------->二项系数为n
第三项2^(n-2)*(√x)^2*[n*(n-1)/2]-------->二项系数为n*(n-1)/2
第四项2^(n-3)*(√x)^3*[n*(n-1)*(n-2)/6]-------->二项系数为n*(n-1)*(n-2)/6
由等差数列可知,2*[n*(n-1)/2]=n+n*(n-1)*(n-2)/6
n*(n-1)=n+n*(n-1)*(n-2)/6
n*(n-2)=n*(n-1)*(n-2)/6
由题可知n>4,故n=7
展开式的中间项为4、5项
第四项2^(n-3)*(√x)^3*[n*(n-1)*(n-2)/6
第五项2^(n-4)*(√x)^4*[n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24]
将n=7代入可求