一道关于圆,函数,数列的题.

题目

一道关于圆,函数,数列的题.
设C 1,C 2,…C n …为坐标平面上的一系列圆.它们的圆心都在x 正半轴上.且都于y ＝跟号3＼3倍的x,相切.对没个正整数n ,圆C n 都与圆C n ＋1相互外切.以R n 表示C n 半径,1问：证明＜R n＞ 为等比数列.2问.设R 1＝1,求＜n ＼R n＞的前n 项和

答案

1.结合坐标图来研究Rn和Rn+1 的关系
因为直线的斜率是k=√3/3 ,倾斜角为Θ=30°
因为圆Cn+1 和直线相切,设切点为Pn+1 连接Pn+1和Cn+1
那么三角形OPn+1Cn+1 是直角三角形,其中∠Cn+1OPn+1=30°
那么Rn+1=Pn+1Cn+1=1/2*OCn+1
OCn+1=2Rn+1
同理对Rn 也构造同样的直角三角形
那么OCn=2Rn
而OCn+1 =OCn+Rn+Rn+1
所以 2Rn+1=2Rn+Rn+Rn+1
Rn+1= 3Rn
也即Rn+1/Rn = 3 ,又R1=1
所以Rn是 首项为 1, 公比为 3的等比数列
2. 通项为Rn=1*3^(n-1)=3^(n-1)
对数列{n/Rn} ,用字母Bn表示
通项为 Bn=n/3^(n-1)=n(1/3)^(n-1)
设前N项和为Sn
那么Sn= 1*1 +2*(1/3)+...+n*(1/3)^(n-1)
1/3*Sn= 1*(1/3)+...+(n-1)*(1/3)^(n-1) +n*(1/3)^n
上下式子相减得
2/3Sn=[ 1+(1/3)+(1/3)^2+...+(1/3)^(n-1)] -n*(1/3)^n {中括号内是等比数列,用公式即可}
2/3Sn= 3/2*[1-(1/3)^n] -n*(1/3)^n
Sn=9/4*[1-(1/3)^n] -3/2n*(1/3)^n