如图，BD、CE是△ABC的高，D、E为垂足，在BD上截取BF，使BF=AC，在CE的延长线取一点G，使CG=AB．试说明：①AF=AG；②AG⊥AF．

题目

如图，BD、CE是△ABC的高，D、E为垂足，在BD上截取BF，使BF=AC，在CE的延长线取一点G，使CG=AB．试说明：①AF=AG；②AG⊥AF．

答案

①∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABF+∠BAD=90°∠GCA+∠BAD=90°，
∴∠ABF=∠GCA，
在△ABF和△GCA中，

AB＝CG ∠ABF＝∠GCA BF＝AC

∴△ABF≌△GCA（SAS），
∴AF=AG．
②∵△ABF≌△GCA，
∴∠GAC=∠AFB，
∵∠AFB=∠ADB+∠FAD，∠GAC=∠GAF+∠FAD，
∴∠GAF=∠ADF，
∵∠ADF=90°，
∴∠GAF=90°，
∴AG⊥AF．

①求出∠ACG=∠ABF，根据SAS推出△ABF≌△GCA即可．
②根据全等三角形性质得出∠GAC=∠AFB，根据∠AFB=∠ADB+∠FAD，∠GAC=∠GAF+∠FAD推出∠GAF=∠ADF即可．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．