在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且3a-2csinA=0． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若c=2，求a+b的最大值．

题目

在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且

3

a-2csinA=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=2，求a+b的最大值．

答案

（Ⅰ）由3a-2csinA=0，及正弦定理，得3sinA-2sinCsinA=0，∵sinA≠0，∴sinC=32，∵△ABC是锐角三角形，∴C=π3；（Ⅱ）∵c=2，C=π3，∴由余弦定理得：a2+b2-2abcosπ3=4，即a2+b2-ab=4，∴（a+b）2=4+3ab≤4+3•（...

（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0求出sinC的值，由三角形为锐角三角形，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（Ⅱ）由c与cosC的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，利用基本不等式即可求出a+b的最大值．

本题考点：余弦定理；正弦定理．

考点点评：此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．