如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(6,0),(6,8).动点M、N分别从O、B同时出发,以每秒1个单位的速度运动.其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C
题目
如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(6,0),(6,8).动点M、N分别从O、B同时出发,以每秒1个单位的速度运动.其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点N作NP⊥BC,交AC于P,连接MP.已知动点运动了x秒.
(1)P点的坐标为多少;(用含x的代数式表示)
(2)试求△MPA面积的最大值,并求此时x的值;
(3)请你探索:当x为何值时,△MPA是一个等腰三角形?你发现了几种情况?写出你的研究成果.
答案
(1)由题意可知C(0,8),又A(6,0),
所以直线AC解析式为:y=-
x+8,
因为P点的横坐标与N点的横坐标相同为6-x,代入直线AC中得y=
x,
所以P点坐标为(6-x,
x);
(2)设△MPA的面积为S,在△MPA中,MA=6-x,MA边上的高为
x,
其中,0≤x<6,
∴S=
(6-x)×
x=
(-x
2+6x)=-
(x-3)
2+6,
∴S的最大值为6,此时x=3;
(3)延长NP交x轴于Q,则有PQ⊥OA
①若MP=PA,
∵PQ⊥MA,
∴MQ=QA=x,
∴3x=6,
∴x=2;
②若MP=MA,则MQ=6-2x,PQ=
x,PM=MA=6-x,
在Rt△PMQ中,
∵PM
2=MQ
2+PQ
2,
∴(6-x)
2=(6-2x)
2+(
x)
2,
∴x=
;
③若PA=AM,
∵PA=
x,AM=6-x,
∴
x=6-x,
∴x=
,
综上所述,x=2,或x=
,或x=
.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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