已知数列{an}成等差数列,Sn表示它的前n项和,且a1+a3+a5=6,S4=12. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)数列{anSn}中,从第几项开始(含此项)以后各项均为正整数?
题目
已知数列{an}成等差数列,Sn表示它的前n项和,且a1+a3+a5=6,S4=12.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)数列{anSn}中,从第几项开始(含此项)以后各项均为正整数?
答案
(1)∵数列{a
n}成等差数列,且a
1+a
3+a
5=6,S
4=12,
∴
,
∴a
1=6,d=-2,
∴a
n=6+(n-1)×(-2)=8-2n.
(2)∵a
1=6,d=-2,
∴
Sn=6n+×(−2)=(7-n)n,
∵a
n=8-2n,
∴0<n<4时,a
n>0,S
n>0,
4<n<7时,a
n<0,S
n>0,
n>7时,a
n<0,S
n<0.
故n≥8时,a
nS
n>0.
故数列{a
nS
n}中,从第8项开始(含此项)以后各项均为正整数.
(1)由数列{a
n}成等差数列,且a
1+a
3+a
5=6,S
4=12,根据等差数列的通项公式和前n项和公式,列出方程组,求出a
1=6,d=-2,由此能求出数列{a
n}的通项公式a
n.
(2)由a
1=6,d=-2,得
Sn=6n+×(−2)=(7-n)n,由n的取值进行分类讨论,能求出数列{a
nS
n}中,从第向项开始(含此项)以后各项均为正整数.
数列的求和;等差数列的通项公式;等差数列的性质;等比数列的性质.
本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用,是中档题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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