已知多项式f（x）除已（x-1）和（x-2）所得的余数分别为1和2,试求f（x）除已（x-1）（x-2）所得的余式.

题目

已知多项式f（x）除已（x-1）和（x-2）所得的余数分别为1和2,试求f（x）除已（x-1）（x-2）所得的余式.

答案

已知多项式f（x）除以（x-1）和（x-2）所得的余数分别为1和2,试求f（x）除以（x-1）（x-2）所得的余式.
【解】不难知道f(x)除以(x-1)(x-2)所得的余式一定是一个一次式,所以可以设之为ax+b,这表明
f(x)＝(x－1)(x－2)g(x)+ax+b
又根据题目条件在x=1时,f(x)=1；x＝2时,f(x)=2.分别代入上面的式子,就得到如下两个方程：
a+b=1,2a+b=2
解之,得到a=1,b=0,因此这个余式为x