求证当pq都是奇数时方程x²+2px+2q=0(p²—2q大于0)的根都是无理数
题目
求证当pq都是奇数时方程x²+2px+2q=0(p²—2q大于0)的根都是无理数
答案
假设两根为m,n,则必为整数
当m,n同为奇数时,mn为奇数.与mn=2q矛盾
当m,n同为偶数时,mn为4的倍数.与mn=2q矛盾
当m,n为一奇数,一偶数时,m+n为奇数.与m+n=2p矛盾
所以:方程x^2+2px+2q=0都是无理数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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