已知a,b是关于x的方程x²+px+1=0的2个根,a,b是直角三角形ABC的两直角边,斜边c的长为√p²+2p+3

题目

已知a,b是关于x的方程x²+px+1=0的2个根,a,b是直角三角形ABC的两直角边,斜边c的长为√p²+2p+3

答案

依题意得 a+b=-p ab=1（ 韦达定理） a²+b²=p²+2p+3
a²+b²=(a+b)²-2ab
p²+2p+3=p²-2
p=-5/2 ,c=5/2+5+3=10.5
所以x²+px+1=0
x²-(5/2)x+1=0
所以 a+b=5/2 ,ab=1
a=5/2-b
(5/2-b)b=1
b²-5b/2+1=0
解得：b=1/2 ,b=2
所以a=5/2-b
得a=2,a=1/2
所以b=1/2,a=2,c=5/2 或a=2,b=1/2,c=5/2