已知:在ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于H,且BH=AC,证明:DH=DC.
题目
已知:在ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于H,且BH=AC,证明:DH=DC.
答案
证明:∵AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,
∴∠BDH=∠ADC=90°.
∠DBH+∠DHB=90°,∠DAC+∠AHE=90°,
∵∠BHD=∠AHE(对顶角相等),
∴∠DBH=DAC(等角的余角相等),
在△BHD和△ACD中,
,
∴△BHD≌△ACD(AAS)
∴DH=DC.
根据垂直的定义,可得∠BEC与∠ADC的大小,根据对顶角的性质,可得∠BHD与∠AHE的关系,根据等角的余角相等,可得∠DBH与∠DAC的关系,根据AAS,可得两三角形全等,根据全等三角形的性质,可得证明结论.
全等三角形的判定与性质.
本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了垂直的定义,全等三角形的判定与性质.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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