在正方形ABCD中,P是BC上一点,且BP=3PC,Q是CD得中点. (1)证明△ADQ∽△QCP;(2)求证:AQ⊥QP.

在正方形ABCD中,P是BC上一点,且BP=3PC,Q是CD得中点. (1)证明△ADQ∽△QCP;(2)求证:AQ⊥QP.

题目
在正方形ABCD中,P是BC上一点,且BP=3PC,Q是CD得中点.
(1)证明△ADQ∽△QCP;(2)求证:AQ⊥QP.
答案
(1)∵BP=3PC,Q是CD的中点
CP
DQ
=
CQ
AD
=
1
2
,又∵∠ADQ=∠QCP=90°,
∴△ADQ∽△QCP;

(2)∵△ADQ∽△QCP,
∴∠AQD=∠QPC,∠DAQ=∠PQC,
∴∠PQC+∠DQA=∠DAQ+∠AQD=90°,
∴AQ⊥QP.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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