设点A、F分别是双曲线9x2-3y2=1的左顶点和右焦点,点P是其右支上的动点（已于顶点）.若△PAF是直角三角形

题目

设点A、F分别是双曲线9x2-3y2=1的左顶点和右焦点,点P是其右支上的动点（已于顶点）.若△PAF是直角三角形
,求点P的坐标.

答案

由题意,有a^2=1/9,b^2=1/3
∴c^2=a^2+b^2=4/9
∴c=2/3
∴A(-2/3,0） F（2/3,0）
设P（x,y）
①若PF⊥AF,则
x=2/3
代入9x²-3y²=1,解得
y=±1
∴P（2/3,1）或（2/3,-1）
②若PA⊥FA,则
∵点P是其右支上的动点（题意）
∴这中情况不可能
③若AP⊥FP,则
|AP|^2+|FP|^2=|AF|^2=（2c）^2=16/9
又∵|AP|-|FP|=2a=2/3
∴|AP|*|FP|=[（|AP|^2+|FP|^2）-（|AP|-|FP|）^2]/2=2/3
又∵S△PAF=1/2|AP|*|FP|=1/2|AF|*|y|
∴|y|=|AP|*|FP|/|AF|=1/2
代入9x²-3y²=1,解得
x=±√7/6
又∵P在右支上
∴x=√7/6
∴P（√7/6,1/2）或（√7/6,-1/2）
（PS：我不希望提问的得不到答案,所以挑靠后的零回答；
下次向本团求助,我看到的话会马上回答.）