已知三棱锥P-ABC顶点处的三个面角均为60度,三个侧面面积分别为（根号3除以2）,2,1,求这个三棱锥的体积

题目

已知三棱锥P-ABC顶点处的三个面角均为60度,三个侧面面积分别为（根号3除以2）,2,1,求这个三棱锥的体积

答案

∠APB=∠BPC=∠CPA=60°,
S△PAB=PA*PB√3/4=√3/2,
S△PBC=PB*PC√3/4=2,
S△PCA=PC*PA√3/4=1,
解得PA=1,PB=2,PC=4/√3.
过B作BD⊥平面PAC于D,作DE⊥PA于E,连BE,则
BE⊥PA,∠DPA=30°,
PE=PB/2=1,PD=PE/cos30°=2/√3,
BD=√（BP^2-DP^2)=√（8/3）,
∴V(P-ABC)=V(B-PAC)=(1/3)√（8/3）=（2/9)√6.