已知,O为△ABC内的任一点,求证:1/2(AB+BC+CA)<OA+OB+OC<AB+AC+BC.
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已知,O为△ABC内的任一点,求证:1/2(AB+BC+CA)<OA+OB+OC<AB+AC+BC.
题目
已知,O为△ABC内的任一点,求证:
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答案
∵三角形中任意两边之和大于第三边,
∴OA+OB>AB,OA+OC>CA,OB+OC>BC,
∴2(OA+OB+OC)>AB+BC+CA,即
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(AB+BC+CA)<OA+OB+OC;
∵三角形中任意两边之差小于第三边,
∴CA-CO<AO,BC-BO<CO,AB-AO<BO,
两边相加得,CA+AB+BC-(AO+BO+CO)>AO+BO+CO,即AC+AB+BC>2(AO+BO+CO)
∴AC+AB+BC>AO+BO+CO
∴
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(AB+BC+CA)<OA+OB+OC<AB+AC+BC.
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