已知关于x的方程sinx-根号3 cosx=2k-1 x属于【0,π】

题目

已知关于x的方程sinx-根号3 cosx=2k-1 x属于【0,π】
1、若方程有解、求实数k的取值范围
2、若方程有且仅有一解,求实数k的取值范围
3、若方程恰好有两个不同解、求k的取值范围

答案

两边同除以2,得sinx×1/2－√3/2×cosx＝(2k-1)/2.因为1/2＝sin(π/6),√3/2＝cos(π/6),所以原方程化为cos(x+/6)＝-(2k-1)/2.
x∈[0,π],则x+π/6∈[π/6,7π/6].
借用cosx的图像,x∈[0,π]时,cos(x+/6)的取值范围是[-1,√3/2].
1、方程有解,则-(2k-1)/2∈[-1,√3/2],解得(1-√3)/2≤k≤3/2
2、方程有且仅有一解,则-(2k-1)/2∈[--√3/2,√3/2)或-(2k-1)/2＝-1,解得(1-√3)/2≤k＜(1+√
3)/2或k＝3/2
3、方程恰好有两个不同解、则-(2k-1)/2∈(--1,-√3/2],解得(1+√3)/2≤k＜3/2