已知三角形ABC中,角A,B,C分别为对边a,b,c.若三角形的面积S=a^2-(b-c)^2,求tan(A/2)的值

题目

已知三角形ABC中,角A,B,C分别为对边a,b,c.若三角形的面积S=a^2-(b-c)^2,求tan(A/2)的值

答案

S=a^2-(b-c)^2
=a^2-b^2-c^2+2bc
而由余弦定理
a^2=b^2+c^2-2bccosA
故S=-2bccosA+2bc
又由面积公式
S=(1/2)bcsinA
即有
(1/2)bcsinA=-2bccosA+2bc
→sinA+4cosA=2
万能代换
得2t+4-4t^2=2+2t^2
得3t^2-t-1=0,t=tan(A/2)
→tanA/2=(1+√5)/6,三角形限制取正值