n阶实对称方阵A的n个互不相同的特征值为λ1..λn,ξ1是A关于λ1的单位特征向量,求B=A-λ1ξ1ξ1Τ

题目

n阶实对称方阵A的n个互不相同的特征值为λ1..λn,ξ1是A关于λ1的单位特征向量,求B=A-λ1ξ1ξ1Τ
（T为转置符号）求上等式的特征值和特征向量

答案

解: 由已知 ξ1^Τξ1 = 1, Aξ1=λ1ξ1, 所以
Bξ1 = (A-λ1ξ1ξ1^Τ)ξ1
= Aξ1-λ1ξ1ξ1^Τξ1
= λ1ξ1-λ1ξ1
= 0
= 0ξ1.
即知 0 是B的特征值, B的属于特征值0的特征向量为k1ξ1(k1≠0).
对i=2,3,...,n
设ξi是A的分别属于λi的特征向量,
由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交
故有 ξ1^Τξi = 0.
所以
Bξi = (A-λ1ξ1ξ1^Τ)ξi
= Aξi-λ1ξ1ξ1^Τξi
= Aξi
= λiξi
即知 λi 是B的特征值, B的属于特征值λi的特征向量为kiξi(ki≠0).
思路就是这样, 但A的其他特征向量没给出来, 只是说明了B的特征向量与A的特征向量的关系
你比较一下标准答案吧