已知3维空间内的3个点坐标值(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3),第4个点(x4,y4,z4)与这3个点所成的平面做垂线,求垂线长度
题目
已知3维空间内的3个点坐标值(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3),第4个点(x4,y4,z4)与这3个点所成的平面做垂线,求垂线长度
答案
已知3维空间内的3个点坐标值(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3),第4个点(x4,y4,z4)与这3个点所成的平面做垂线,求垂线长度
设所求平面的法线矢量为{A,B,C},其中A,B,C,不同时为零.因平面通过点M₁(x₁,y₁,z₁)
则平面方程可写为:
A(x-x₁)+B(y-y₁)+C(z-z₁)=0.(1)
M₂(x₂,y₂,z₂)和M₃(x₃,y₃,z₃)也在这个平面上,则得下列两个条件:
A(x₂-x₁)+B(y₂-y₁)+C(z₂-z₁)=0.(2)
A(x₃-x₁)+B(y₃-y₁)+C(z₃-z₁)=0.,.(3)
由(1)(2)(3)组成的关于A,B,C的齐次方程有非零解的条件为三阶行列式:
│x - x₁ y - y₁ z - z₁│
│x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z │=0
│x₃-x₁ y₃-y₁ z₃-z₁│
打开这个行列式,即得平面方程Ax+By+Cz+D=0
点P(x₄,y₄,z₄)到该平面的距离(即垂线长)d=│Ax₄+By₄+Cz₄+D│/√(A²+B²+C²) .
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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