数列An的前n项和Sn=p^n+q(po,p1),求An是等比数列的充要条件.十万火急!有奖分

题目

数列An的前n项和Sn=p^n+q(po,p1),求An是等比数列的充要条件.十万火急!有奖分

答案

a1=S1=p+q.
当n≥2时,an=Sn－Sn－1=pn－1(p－1)
∵p≠0,p≠1,∴ =p
若{an}为等比数列,则 =p
∴ =p,
∵p≠0,∴p－1=p+q,∴q=－1
这是{an}为等比数列的必要条件.
下面证明q=－1是{an}为等比数列的充分条件.
当q=－1时,∴Sn=pn－1(p≠0,p≠1),a1=S1=p－1
当n≥2时,an=Sn－Sn－1=pn－pn－1=pn－1(p－1)
∴an=(p－1)pn－1 (p≠0,p≠1)
=p为常数
∴q=－1时,数列{an}为等比数列.即数列{an}是等比数列的充要条件为q=－1.